Правоъгълен триъгълник е този, на който единият от вътрешните ъгли е 90°. Страните, които сключват прав ъгъл, се наричат катети. Третата страна, която е срещуположна на правия ъгъл, се нарича хипотенуза.
Правоъгълните триъгълници имат специфични свойства, които ги отличават от останалите триъгълници. Една от най-известните теореми е теоремата на Питагор. Тя се отнася за правоъгълни триъгълници и гласи, че ако a и b са катети, а c е хипотенуза, то:
a² + b² = c².
Геометричната интерпретация на теоремата е, че ако построим квадрати на страните на правоъгълен триъгълник, то общото лице на квадратите до катетите е равно на лицето на квадрата до хипотенузата.
Теоремата на Питагор е частен на по-общата формула за намиране на ъгъл в триъгълник по дължините на страните му. Ако търсим ъгъл γ, срещуположен на страната c и сключен между a и b, тогава:
cos(γ) = (a² + b² - c²)/(2ab).
При правоъгълен триъгълник γ = 90°, следователно cos(γ) = 0 и a²+b²-c² = 0, което съответства на Теоремата на Питагор..
За решаването на следните задачи използвайте формулите в II и интерактивното поле в IV. Указания за работа с интерактивното поле има в V, а примерни решения има в VI.
Когато се проверява някакво твърдение чрез експеримент в интерактивното поле, трябва да се отчете, че показаните данни са закръглени и резултатите не са формални доказателства, а само наблюдения.
Задача №1
Простройте следните триъгълници и проверете кои от тях са правоъгълни:
Триъгълник с дължини на страните AB=5, BC=4 и CA=3.
Триъгълник със страни CA=6 и AB=4, като ъгълът между тях е ∢A=30°.
Триъгълник със страна AB=10 и прилежащи ъгли по 45°.
Задача №2
Предложете начин, по който в интерактивното поле да може да се създава приблизително правоъгълен триъгълник, без да се ползват изчислените дължини на страни и ъгли.
Задача №3
Използвайки само интерактивното поле, изчислете с точност две цифри след десетичната запетая √13 (квадратен корен от 13). Използвайте Теоремата на Питагор и подходящ за целта триъгълник.
Задача №4
Предложете алгоритъм, с който чрез Питагоровата теорема да се определя лесно дали триъгълник е остроъгълен или тъпоъгълен. Демонстрирайте алгоритъма с примери.
Интерактивното поле съдържа 3 точки - A, B и C, кото са върхове на триъгълник. Те могат да се влачат с мишката само в рамките на полето.
Под полето е показан панел с изчислени стойности – дължините на траните на триъгълника, лицето на квадрата към страната AB, сумата от лицата на квадратите към другите две страни и мерките на ъглите в трите върха.
Над полето има лента с опции, които настройват работата с интерактивното поле.
Линии – ако тази опция е включена се рисуват линии като продължения на страните на триъгълника.
Квадрати – ако тази опция е включена се рисуват квадрати към страните на триъгълника.
Мрежа – ако тази опция е включена се рисува ориентировъчна квадратна мрежа под триъгълника. Всяко квадретче е с размер 1x1 единици.
Подравняване – ако тази опция е включена, при пускането на влачена точка тя автоматично се допремества до най-близката позиция, която е на координати цели или половинки числа. Това позволява бързо позициониране на върхове и успоредни на осите страни.
Прецизност – ако тази опция е включена, влаченето на върховете се забавя десетокатно спрямо движението на мишката. По този начин може да се настроят прецизно помоленията на върховете.
При опит да се влачи връх извън интерактивното поле, той бива ограничен в рамките на половин единица от края на полето.
За всяко подусловие конструираме търсения триъгълник. При кликване илюстрацията към решението може да се види в реален размер.
Страните BC и CA са с дължина цели числа. Може да се използва режима на автоматично подравняване и да разположим тези страни перпендикулярно върху мрежата. Така полученият триъгълник е правоъгълен по конструкция. Проверяваме в изчислените размери под графиката дължината на третата страна. Тя е точно колкото се иска по условие, затова създаденият триъгълник е исканият и той е правоъгълен.
Определяме приблизителни места на върховете на триъгълника, така че дадените дължини и ъгли да са близки до исканите. В режим на прецизност фиксираме с по-голяма точност върховете до получаване на исканите стойности. След построяването на триъгълника виждаме, че нито един от върховете му не е 90°, затова триъгълникът не е правоъгълен.
Двата известни ъгъла са по 45°, затова третият ъгъл е точно 90°. По дефиниция този триъгълник е правоъгълен, без значение от дължината на дадената страна. на илюстрацията е показана конструкция с AB = 10 и ∢A = ∢B = 30°
Задача №2
При създаването на триъгълника работим в режим на показани линии и квадрати. Когато линия съвпада със страна на квадрат, то съответният ъгъл при върха е приблизително 90°. На илюстрацията правите по страните BC и CA съвпадат със страните на квадратите. Питагоровата теорема също е спазена, като и двете лица са 16.5 квадратни единици.
Задача №3
Вариант за пресмятане на квадратен корен от 13 е да генерираме правоъгълен триъгълник с квадрат на хипотенузата с лице точно 13. Тогава дължината на хипотенузата ще е √13.
В този случай търсим правоъгълен триъгълник с общо лице на катетните квадрати също 13. Такъв триъгълник е този с дължини на катетите 2 и 3; и лица на съответните квадрати 4 и 9. От теоремата на Питагор следва, че хипотенузния квадрат ще е с лице 13.
След построяването на триъгълник с катети 2 и 3 намираме при изчислените дължини на интерактивното поле, че хипотенузата има дължина 3.61. По този начин получаваме, че √13 ≈ 3.61. При изчисление с по-голяма точност се получава √13 ≈ 3.6055512….
Задача №4
Ще представим алгоритъм, който определя дали връх в триъгълник е остър, прав или тъп. Чрез най-много трикратно прилагане може да се определи типа на триъгълника.
Функцията cos(γ) е:
с положителна стойност, ако 0≤γ<90°;
с нулева стойност, ако γ=90°;
с отрицателна стойност, ако 90°<γ<180°.
Понеже знакът на 2ab е винаги положителен, то знакът на cos(γ) ще съвпада със знака на a² + b² - c². Затова за ъгъла срещу страна c:
a² + b² > c², ъгълът е остър;
a² + b² = c², ъгълът прав;
a² + b² < c², ъгълът е тъп.
За установяване на типа на триъгълника е нужно да проверим типа само на най-големия му ъгъл във връх. Този ъгъл е срещу най-дългата стена.
Трите илюстрации по-долу представят нагледно тези три случая, като и в трите страната AB е най-дълга. За лявата фигура виждаме, че сумата на лицата на прилежащите на върха квадрати е по-голяма, т.е. триъгълникът е остроъгълен. На средната фигура лицата са равни, затова триъгълникът е правоъгълен. При дясната фигура сумата от лицата на прилежащите квадрати е по-малка и триъгълникът е тъпоъгълен.
Страните BC и CA са с дължина цели числа. Може да се използва режима на автоматично подравняване и да разположим тези страни перпендикулярно върху мрежата. Така полученият триъгълник е правоъгълен по конструкция. Проверяваме в изчислените размери под графиката дължината на третата страна. Тя е точно колкото се иска по условие, затова създаденият триъгълник е исканият и той е правоъгълен.
Определяме приблизителни места на върховете на триъгълника, така че дадените дължини и ъгли да са близки до исканите. В режим на прецизност фиксираме с по-голяма точност върховете до получаване на исканите стойности. След построяването на триъгълника виждаме, че нито един от върховете му не е 90°, затова триъгълникът не е правоъгълен.
Двата известни ъгъла са по 45°, затова третият ъгъл е точно 90°. По дефиниция този триъгълник е правоъгълен, без значение от дължината на дадената страна. на илюстрацията е показана конструкция с AB = 10 и ∢A = ∢B = 30°
